どんな集合にもその集合より大きな順序数が存在するか?

問題:与えられた集合より大きな順序数

 題名の通りですが、どんな集合にもその集合より大きな順序数が存在するか? という問題についてふと気になったので考えてみました。

 正確に言うならば、

 命題:

任意の集合\(X\)に対して, ある順序数\(\alpha \in \mathbf{ON}\)が存在して\(X\)から\(\alpha\)への単射が存在する.

はZFで証明できるか?

という問題になります。

少し意外だったのですが、上記の問題の結論は否定的です。この命題は選択公理と同値になることがわかりました。

いい勉強になりました。

与えられた集合より大きな順序数の存在⇔整列可能

次を証明しましょう。

命題1:
次の命題は同値である.
(1) 任意の集合\(X\)に対して, ある順序数\(\alpha \in \mathbf{ON}\)が存在して\(X\)から\(\alpha\)への単射が存在する.
(2) 整列可能定理

(Proof)
(2) \(\Rightarrow\) (1) は自明(\(X\)を整列したときに順序同型になる順序数\(\alpha\)へは明らかに単射が存在する).
(1) \(\Rightarrow\) (2) を示す.
 \(\varphi(X, \alpha)\)で\(X\)から\(\alpha\)への単射が存在するという命題を表すとする.
\begin{align}
A = \{\alpha \in \mathbf{ON} | \varphi(X, \alpha) \},
\end{align}
とすると(1)より\(A\)は空でないクラスになる. このとき超限帰納法より\(A\)の最小限\(\alpha_0 \in A\)が存在する.

 \(X\)から\(\alpha_0\)への単射を\(f\)とすると, \(f(X)\)は\(\alpha_0\)の部分集合である. よって \(\langle f(X), \in \rangle\)は整列順序集合である. すなわち, ある順序数\(\beta\)が存在して\(f(X) \cong \beta\)となる(ここで\(\cong\)は順序同型を表す).

 このとき\(\alpha_0\)の最小性より\(\beta = \alpha_0\)でなくてはならない. すなわち \(f(X) \cong \beta = \alpha_0\)より, \(X\)から\(\alpha_0\)への全単射が存在し\(X\)はその全単射に誘導される順序で整列可能.

ということで、集合\(X\)を超える順序数が存在するならばそこから一気に\(X\)が整列可能であることまで言えてしまいました。

超限帰納法の強力さがよくわかる命題でしたね。

整列可能定理と選択公理が同値になることはよく知られているので、ZF上どんな集合もそれを超える順序数が存在するという主張は選択公理と同値であるということがわかります。

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